El nacimiento de una conjetura (una suposición cuya validez se sospecha, pero que necesita una prueba concluyente) puede parecerle a un matemático como un momento de inspiración divina. Las conjeturas matemáticas no son sólo conjeturas fundamentadas. Su formulación requiere una combinación de genio, intuición y experiencia. Incluso a un matemático le puede resultar difícil explicar su proceso de descubrimiento. Sin embargo, contrariamente a la intuición, creo que esta es el área donde la inteligencia artificial será inicialmente más transformadora.
En 2017, investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas de Londres, del que soy director, comenzaron a aplicar el aprendizaje automático a datos matemáticos como pasatiempo. Durante la pandemia de COVID-19, descubrieron que clasificadores simples de inteligencia artificial (IA) pueden predecir el rango de una curva elíptica1 – Una medida de su complejidad. Las curvas elípticas son fundamentales para la teoría de números, y comprender sus estadísticas básicas es un paso crucial hacia la solución de uno de los siete Problemas del Milenio, seleccionados por el Instituto Clay de Matemáticas en Providence, Rhode Island, cada uno de los cuales conlleva un premio de un millón de dólares. Pocos esperaban que la IA tuviera tanto éxito en este ámbito de alto riesgo.
La IA ahora está superando a los humanos en tareas básicas y se necesitan nuevos estándares, según un importante informe
La IA también ha logrado avances en otras áreas. Hace unos años, un programa informático llamado máquina Ramanujan produjo nuevas fórmulas para las constantes fundamentales.2como Adiós Y h. Lo hice investigando exhaustivamente familias de fracciones continuas: una fracción cuyo denominador es un número más una fracción cuyo denominador también es un número más una fracción, etc. Algunas de estas conjeturas han quedado demostradas desde entonces, mientras que otras siguen siendo problemas abiertos.
Otro ejemplo es el de la teoría de nudos, una rama de la topología en la que un trozo virtual de cuerda se entrelaza antes de pegar los extremos. Investigadores de Google DeepMind, con sede en Londres, entrenaron una red neuronal con datos de muchos nodos diferentes y descubrieron una relación inesperada entre su estructura algebraica y geométrica.3.
¿Cómo ha marcado la inteligencia artificial una diferencia en áreas de las matemáticas donde se pensaba que la creatividad humana era esencial?
Primero, no hay coincidencias en matemáticas. En los experimentos del mundo real abundan los falsos negativos y los falsos positivos. Pero en matemáticas hay un contraejemplo que deja sin efecto la conjetura. Por ejemplo, la conjetura de Polya establece que la mayoría de los números enteros inferiores a cualquier número entero dado tienen un número impar de factores primos. Pero en 1960 se descubrió que la suposición no se aplicaba al número 906.180.359. De un solo golpe, la suposición fue falsificada.
En segundo lugar, los datos matemáticos (con los que se puede entrenar la IA) son baratos. Los números primos, los nodos y muchos otros tipos de objetos matemáticos se encuentran disponibles en abundancia. el Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros (OEIS) contiene aproximadamente 375.000 secuencias, que van desde la conocida secuencia de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) hasta la enorme secuencia de Busy Beaver (0, 1, 4, 6, 13, …) ), que crece más rápido que cualquier función computable. Los científicos ya están utilizando herramientas de aprendizaje automático para buscar en la base de datos OEIS relaciones inesperadas.
DeepMind AI supera a los matemáticos humanos en la resolución de problemas sin resolver
La IA puede ayudarnos a detectar patrones y hacer conjeturas. Pero no todas las conjeturas son iguales. También necesitan mejorar nuestra comprensión de las matemáticas. En su artículo de 1940 La disculpa del matemáticoJ. H. Hardy explica que una buena teoría “debe ser un componente de muchas estructuras matemáticas, que se utilizan para demostrar teoremas de muy diferentes tipos”. En otras palabras, las mejores teorías aumentan la probabilidad de descubrir nuevas teorías. Las conjeturas que nos ayudan a alcanzar nuevas alturas matemáticas son mejores que aquellas que arrojan menos conocimientos. Pero distinguir entre ellos requiere una intuición de cómo se desarrolla el campo mismo. Esta comprensión del contexto más amplio permanecerá fuera del alcance de la IA durante mucho tiempo, por lo que la tecnología tendrá dificultades para hacer conjeturas importantes.
Pero a pesar de las advertencias, la adopción más amplia de herramientas de inteligencia artificial en la comunidad matemática tiene muchos aspectos positivos. La inteligencia artificial puede proporcionar una ventaja decisiva y abrir nuevas vías para la investigación.
Las principales revistas de matemáticas también deberían publicar más conjeturas. Algunos de los problemas más importantes de las matemáticas (como el último teorema de Fermat, la hipótesis de Riemann, los 23 problemas de Hilbert y las numerosas identidades de Ramanujan) e innumerables conjeturas menos conocidas han ayudado a dar forma al curso de esta disciplina. Las conjeturas aceleran la investigación al señalarnos en la dirección correcta. Los artículos de revistas sobre conjeturas, respaldados por datos o argumentos heurísticos, acelerarán el proceso de descubrimiento.
El año pasado, investigadores de Google DeepMind predijeron la existencia de 2,2 millones de nuevas estructuras cristalinas.4. Pero queda por ver cuántos de estos nuevos materiales potenciales son estables, pueden fabricarse y tienen aplicaciones prácticas. Actualmente, estos son de gran importancia para los investigadores humanos, que comprenden el amplio contexto de la ciencia de los materiales.
Asimismo, se necesitará la imaginación y la intuición de los matemáticos para comprender los resultados de las herramientas de IA. Por lo tanto, la inteligencia artificial sólo actuará como catalizador de la creatividad humana, no como sustituto de ella.
